设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的左焦点为 $F$，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

(1) 求椭圆的方程； (2) 设 $A$，$B$ 分别为椭圆的左，右顶点，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $C$，$D$ 两点. 若 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} = 8$，求 $k$ 的值.