设 $F_1$，$F_2$ 分别为椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左，右焦点，过 $F_2$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，直线 $l$ 的倾斜角为 $60^\circ$，$F_1$ 到直线 $l$ 的距离为 $2\sqrt{3}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的焦距； (2) 如果 $\overrightarrow{AF_2}=2\overrightarrow{F_2B}$，求椭圆 $C$ 的方程.