已知函数 $f(x)=(a+1)\ln x+ax^2+1$.

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性； (2) 设 $a\leqslant -2$，证明：对任意 $x_1$，$x_2\in(0,+\infty)$，$|f(x_1)-f(x_2)|\geqslant 4|x_1-x_2|$.