已知椭圆 $C$ 的左，右焦点坐标分别是 $(- \sqrt{2}, 0)$，$(\sqrt{2}, 0)$，离心率是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$. 直线 $y = t$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$，$N$，以线段 $MN$ 为直径作圆 $P$，圆心为 $P$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 若圆 $P$ 与 $x$ 轴相切，求圆心 $P$ 的坐标； (3) 设 $Q(x,y)$ 是圆 $P$ 上的动点，当 $t$ 变化时，求 $y$ 的最大值.