设函数 $f_{n}(x) = x^{n} + bx + c$（$n \in \mathbf{N}_+$，$b$，$c \in \mathbf{R}$）.

(1) 设 $n \geqslant 2$，$b = 1$，$c = -1$，证明：$f_n(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内存在唯一零点. (2) 设 $n = 2$，若对任意 $x_1$，$x_2 \in [-1, 1]$，有 $|f_2(x_1) - f_2(x_2)| \leqslant 4$，求 $b$ 的取值范围. (3) 在第（1）问的条件下，设 $x_{n}$ 是 $f_{n}(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内的零点，判断数列 $x_{2}$，$x_{3}$，$\cdots$，$x_{n}$，$\cdots$ 的增减性.