已知一条曲线 $C$ 在 $y$ 轴的右边，$C$ 上每一点到点 $F(1,0)$ 的距离减去它到 $y$ 轴距离的差都是 $1$.

(1) 求曲线 $C$ 的方程； (2) 是否存在正数 $m$，对于过点 $M(m,0)$ 且与曲线 $C$ 有两个交点 $A$，$B$ 的任一直线，都有 $\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} < 0$？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.