设函数 $f(x) = \frac{\ln x}{1 + x} - \ln x + \ln (x + 1)$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间和极值. (2) 是否存在实数 $a$，使得关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geqslant a$ 的解集为 $(0, +\infty)$？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，试说明理由.