已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，$a_2+a_5=16$，$a_5-a_3=4$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式和 $\displaystyle\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1}a_i$； (2) 已知 $\{b_n\}$ 为等比数列，对于任意 $k\in \mathbf{N}^*$，若 $2^{k-1}\le n\le 2^k-1$，则 $b_k<a_n<b_{k+1}$.

(i) 当 $k\ge 2$ 时，求证：$2^k-1<b_k<2^k+1$； (ii) 求 $\{b_n\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和.