设椭圆的中心为原点 $O$，一个焦点为 $F(0,1)$，长轴和短轴的长度之比为 $t$.

(1) 求椭圆的方程； (2) 设经过原点且斜率为 $t$ 的直线与椭圆在 $y$ 轴右边部分的交点为 $Q$，点 $P$ 在该直线上，且 $\left|\frac{OP}{OQ}\right| = t\sqrt{t^2 - 1}$，当 $t$ 变化时，求点 $P$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.