如图，圆柱 $O O_{1}$ 内有一个三棱柱 $A B C - A_{1}B_{1}C_{1}$，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 $A B$ 是圆 $O$ 的直径.

(1) 证明：平面 $A_{1}ACC_{1}$ $\perp$ 平面 $B_{1}BCC_{1}$； (2) 设 $AB = AA_{1}$，在圆柱 $OO_{1}$ 内随机选取一点. 记该点取自于三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 内的概率为 $p$.

(i) 当点 $C$ 在圆周上运动时，求 $p$ 的最大值； (ii) 记平面 $A_{1}ACC_{1}$ 与平面 $B_{1}OC$ 所成的角为 $\theta$ （$0^{\circ} < \theta \leqslant 90^{\circ}$），当 $p$ 取最大值时，求 $\cos \theta$ 的值.