双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

\begin{solution} 设双曲线的半焦距为 $c$，离心率为 $e=\frac ca>1$，则右焦点为 $F(c,0)$，左准线为 $x=-\frac ae$. 设右支上的点为 $P(x,y)$，则 $x\geqslant a$，且 $y^2=\frac{b^2}{a^2}(x^2-a^2)$，$c^2=a^2+b^2$. 于是 由于 $x\geqslant a$，所以 $PF=ex-a$. 点 $P$ 到左准线的距离为 $x+\frac ae$. 题设距离相等，故 $ex-a=x+\frac ae$，$x=\frac{a(e+1)}{e(e-1)}$. 右支上存在这样的点，当且仅当这个横坐标不小于顶点横坐标 $a$，即 结合 $e>1$，得 $1<e\leqslant1+\sqrt2$. 因此选 C. \end{solution}