已知椭圆的中心为坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，斜率为 $1$ 且过椭圆右焦点 $F$ 的直线交椭圆于 $A$，$B$ 两点，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 与 $\boldsymbol{a}=(3,-1)$ 共线.

(1) 求椭圆的离心率； (2) 设 $M$ 为椭圆上任意一点，且 $\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}$（$\lambda$，$\mu\in\mathbf{R}$），证明 $\lambda^{2}+\mu^{2}$ 为定值.