已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > 0$，$b > 0$）的右焦点为 $F$，过 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，若 $\overrightarrow{AF} = 4\overrightarrow{FB}$，则 $C$ 的离心率为（ ）

\begin{solution} 设 $F=(c,0)$，过焦点的直线用参数表示为 代入双曲线并整理，交点对应的参数是方程 的两根. 由 $\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}$，可设两根为 $-4t$ 和 $t$. 由韦达定理， $-3t=\frac{2b^{2}c}{3a^{2}-b^{2}}$，$-4t^{2}=-\frac{b^{4}}{3a^{2}-b^{2}}$. 将第一式平方后与第二式联立，得 又 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以 $25b^{2}=11a^{2}$，从而 因 $e>0$，得 $e=\frac65$，故选 A. \end{solution}

已知 $AC$，$BD$ 为圆 $O: x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条相互垂直的弦，垂足为 $M(1, \sqrt{2})$，则四边形 $ABCD$ 的面积的最大值为______.

\begin{solution} 设圆心到弦 $AC$，$BD$ 所在直线的距离分别为 $d_{1}$，$d_{2}$. 因两直线垂直且交于 $M$，有 圆半径为 $2$，故两弦长分别为 $2\sqrt{4-d_{1}^{2}}$ 和 $2\sqrt{4-d_{2}^{2}}$. 四边形 $ABCD$ 的对角线为这两条互相垂直的弦，所以其面积 令 $u=d_{1}^{2}$，$v=d_{2}^{2}$，则 $u+v=3$，且 因此 $S\leqslant2\sqrt{\frac{25}{4}}=5$. 当且仅当 $u=v=\frac32$ 时取等号；取过 $M$ 且分别与 $OM$ 成 $45^{\circ}$ 角的两条互相垂直直线即可实现，故最大值为 $5$. \end{solution}

如图，直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$AB \perp AC$，$D$，$E$ 分别为 $AA_{1}$，$B_{1}C$ 的中点，$DE \perp$ 平面 $BCC_{1}$.

(1) 证明：$AB = AC$. (2) 设二面角 $A - BD - C$ 为 $60^{\circ}$，求 $B_{1}C$ 与平面 $BCD$ 所成的角的大小.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $AB=u$，$AC=v$，$AA_{1}=h$. 建立空间直角坐标系，使 $A=(0,0,0)$，$B=(u,0,0)$，$C=(0,v,0)$，$A_{1}=(0,0,h)$. 则 $D=(0,0,\frac h2)$，$B_{1}=(u,0,h)$，且 平面 $BCC_{1}$ 的一个法向量为 $(v,u,0)$. 由 $DE\perp$ 平面 $BCC_{1}$，有 $(u,v,0)\parallel(v,u,0)$，所以 $u=v$，即 $AB=AC$. \item 记 $AB=AC=s$. 此时平面 $ABD$ 的一个法向量可取 $\boldsymbol{n}_{1}=(0,1,0)$，平面 $BCD$ 的一个法向量可取 二面角为 $60^{\circ}$，故 从而 $h^{2}=2s^{2}$.

直线 $B_{1}C$ 的方向向量可取 $\overrightarrow{B_{1}C}=(-s,s,-h)$. 设它与平面 $BCD$ 所成的角为 $\theta$，则 线面角取锐角，故 $\theta=30^{\circ}$. \end{enumerate} \end{solution}

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，当 $l$ 的斜率为 $1$ 时，坐标原点 $O$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求 $a$，$b$ 的值. (2) $C$ 上是否存在点 $P$，使得当 $l$ 绕 $F$ 转到某一位置时，有 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ 成立？若存在，求出所有的 $P$ 的坐标与 $l$ 的方程；若不存在，说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半焦距为 $c$，则右焦点为 $F=(c,0)$，且 又 $b^{2}=a^{2}-c^{2}$. 当直线 $l$ 的斜率为 $1$ 时，其方程为 $y=x-c$，即 $x-y-c=0$. 由原点到直线的距离， 得 $c=1$. 因而 $a=\sqrt3$，且 $b^{2}=3-1=2$，所以 $b=\sqrt2$. \item 由上知椭圆方程为 $2x^{2}+3y^{2}=6$，焦点为 $F=(1,0)$. 先设 $l$ 不是竖直直线，写成 设它与椭圆交于 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$. 将直线方程代入椭圆，得 由韦达定理，记 $D=2+3k^{2}$，则 又 $y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2}-2)=-\frac{4k}{D}$. 若 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，则 点 $P$ 在椭圆上等价于 即 $\frac{24k^{2}}{D}=6$. 因而 $4k^{2}=2+3k^{2}$，所以 $k^{2}=2$.

当 $k=\sqrt2$ 时，$P=\left(\frac32,-\frac{\sqrt2}{2}\right)$，$l:y=\sqrt2(x-1)$；当 $k=-\sqrt2$ 时，$P=\left(\frac32,\frac{\sqrt2}{2}\right)$，$l:y=-\sqrt2(x-1)$.

最后检查竖直直线 $x=1$. 它与椭圆的两个交点纵坐标互为相反数，故两点坐标之和为 $(2,0)$，而 $2(2)^{2}+3(0)^{2}=8\ne6$，所以 $P=(2,0)$ 不在椭圆上. 因此以上两点即为全部满足条件的点. \end{enumerate} \end{solution}