已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，当 $l$ 的斜率为 $1$ 时，坐标原点 $O$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求 $a$，$b$ 的值. (2) $C$ 上是否存在点 $P$，使得当 $l$ 绕 $F$ 转到某一位置时，有 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ 成立？若存在，求出所有的 $P$ 的坐标与 $l$ 的方程；若不存在，说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半焦距为 $c$，则右焦点为 $F=(c,0)$，且 又 $b^{2}=a^{2}-c^{2}$. 当直线 $l$ 的斜率为 $1$ 时，其方程为 $y=x-c$，即 $x-y-c=0$. 由原点到直线的距离， 得 $c=1$. 因而 $a=\sqrt3$，且 $b^{2}=3-1=2$，所以 $b=\sqrt2$. \item 由上知椭圆方程为 $2x^{2}+3y^{2}=6$，焦点为 $F=(1,0)$. 先设 $l$ 不是竖直直线，写成 设它与椭圆交于 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$. 将直线方程代入椭圆，得 由韦达定理，记 $D=2+3k^{2}$，则 又 $y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2}-2)=-\frac{4k}{D}$. 若 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，则 点 $P$ 在椭圆上等价于 即 $\frac{24k^{2}}{D}=6$. 因而 $4k^{2}=2+3k^{2}$，所以 $k^{2}=2$.

当 $k=\sqrt2$ 时，$P=\left(\frac32,-\frac{\sqrt2}{2}\right)$，$l:y=\sqrt2(x-1)$；当 $k=-\sqrt2$ 时，$P=\left(\frac32,\frac{\sqrt2}{2}\right)$，$l:y=-\sqrt2(x-1)$.

最后检查竖直直线 $x=1$. 它与椭圆的两个交点纵坐标互为相反数，故两点坐标之和为 $(2,0)$，而 $2(2)^{2}+3(0)^{2}=8\ne6$，所以 $P=(2,0)$ 不在椭圆上. 因此以上两点即为全部满足条件的点. \end{enumerate} \end{solution}