已知 $AC$，$BD$ 为圆 $O: x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条相互垂直的弦，垂足为 $M(1, \sqrt{2})$，则四边形 $ABCD$ 的面积的最大值为______.

\begin{solution} 设圆心到弦 $AC$，$BD$ 所在直线的距离分别为 $d_{1}$，$d_{2}$. 因两直线垂直且交于 $M$，有 圆半径为 $2$，故两弦长分别为 $2\sqrt{4-d_{1}^{2}}$ 和 $2\sqrt{4-d_{2}^{2}}$. 四边形 $ABCD$ 的对角线为这两条互相垂直的弦，所以其面积 令 $u=d_{1}^{2}$，$v=d_{2}^{2}$，则 $u+v=3$，且 因此 $S\leqslant2\sqrt{\frac{25}{4}}=5$. 当且仅当 $u=v=\frac32$ 时取等号；取过 $M$ 且分别与 $OM$ 成 $45^{\circ}$ 角的两条互相垂直直线即可实现，故最大值为 $5$. \end{solution}