如图，直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$AB \perp AC$，$D$，$E$ 分别为 $AA_{1}$，$B_{1}C$ 的中点，$DE \perp$ 平面 $BCC_{1}$.

(1) 证明：$AB = AC$. (2) 设二面角 $A - BD - C$ 为 $60^{\circ}$，求 $B_{1}C$ 与平面 $BCD$ 所成的角的大小.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $AB=u$，$AC=v$，$AA_{1}=h$. 建立空间直角坐标系，使 $A=(0,0,0)$，$B=(u,0,0)$，$C=(0,v,0)$，$A_{1}=(0,0,h)$. 则 $D=(0,0,\frac h2)$，$B_{1}=(u,0,h)$，且 平面 $BCC_{1}$ 的一个法向量为 $(v,u,0)$. 由 $DE\perp$ 平面 $BCC_{1}$，有 $(u,v,0)\parallel(v,u,0)$，所以 $u=v$，即 $AB=AC$. \item 记 $AB=AC=s$. 此时平面 $ABD$ 的一个法向量可取 $\boldsymbol{n}_{1}=(0,1,0)$，平面 $BCD$ 的一个法向量可取 二面角为 $60^{\circ}$，故 从而 $h^{2}=2s^{2}$.

直线 $B_{1}C$ 的方向向量可取 $\overrightarrow{B_{1}C}=(-s,s,-h)$. 设它与平面 $BCD$ 所成的角为 $\theta$，则 线面角取锐角，故 $\theta=30^{\circ}$. \end{enumerate} \end{solution}