设 $A$，$B$ 是双曲线 $x^{2} - \dfrac{y^{2}}{2} = 1$ 上的两点，点 $N(1,2)$ 是线段 $AB$ 的中点.

(1) 求直线 $AB$ 的方程； (2) 如果线段 $AB$ 的垂直平分线与双曲线相交于 $C$，$D$ 两点，那么 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点是否共圆？ 为什么？

已知 $a > 0$，函数 $f(x) = ax - bx^{2}$.

(1) 当 $b > 0$ 时，若对任意 $x \in \mathbf{R}$ 都有 $f(x) \leqslant 1$，证明：$a \leqslant 2\sqrt{b}$； (2) 当 $b > 1$ 时，证明：对任意 $x \in [0,1]$，$|f(x)| \leqslant 1$ 的充要条件是 $b - 1 \leqslant a \leqslant 2\sqrt{b}$； (3) 当 $0 < b \leqslant 1$ 时，讨论：对任意 $x \in [0,1]$，$|f(x)| \leqslant 1$ 的充要条件.