设 $f(x)$，$g(x)$，$h(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的三个函数. 对于命题：

① 若 $f(x)+g(x)$，$f(x)+h(x)$，$g(x)+h(x)$ 均为增函数，则 $f(x)$，$g(x)$，$h(x)$ 中至少有一个为增函数； ② 若 $f(x)+g(x)$，$f(x)+h(x)$，$g(x)+h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，则 $f(x)$，$g(x)$，$h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数.

下列判断正确的是（ ）

已知 $a\in\mathbf{R}$，函数 $f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right)$.

(1) 当 $a=5$ 时，解不等式 $f(x)>0$； (2) 若关于 $x$ 的方程 $f(x)-\log_2[(a-4)x+2a-5]=0$ 的解集中恰有一个元素，求 $a$ 的取值范围； (3) 设 $a>0$，若对任意 $t\in\left[\dfrac12,1\right]$，函数 $f(x)$ 在区间 $[t,t+1]$ 上的最大值和最小值的差不超过 $1$，求 $a$ 的取值范围.