已知椭圆的中心为坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，斜率为 $1$ 且过椭圆右焦点 $F$ 的直线交椭圆于 $A$，$B$ 两点，$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ 与 $\boldsymbol{a} = (3, -1)$ 共线.

(1) 求椭圆的离心率； (2) 设 $M$ 为椭圆上任意一点，且 $\overrightarrow{OM} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}$（$\lambda$，$\mu \in \mathbf{R}$），证明 $\lambda^2 + \mu^2$ 为定值.