如图，正方形 $ABCD$，$ABEF$ 的边长都是 $1$，而且平面 $ABCD$，$ABEF$ 互相垂直. 点 $M$ 在 $AC$ 上移动，点 $N$ 在 $BF$ 上移动，若 $CM = BN = a$（$0 < a < \sqrt{2}$）.

(1) 求 $MN$ 的长； (2) $a$ 为何值时，$MN$ 的长最小； (3) 当 $MN$ 的长最小时，求面 $MNA$ 与面 $MNB$ 所成二面角 $\alpha$ 的大小.