如图，已知四棱锥 $P - ABCD$ 的底面 $ABCD$ 为等腰梯形，$AB \parallel DC$，$AC \perp BD$，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，且顶点 $P$ 在底面上的射影恰为 $O$ 点，又 $BO = 2$，$PO = \sqrt{2}$，$PB \perp PD$.

(1) 求异面直线 $PD$ 与 $BC$ 所成角的余弦值； (2) 求二面角 $P - AB - C$ 的大小； (3) 设点 $M$ 在棱 $PC$ 上，且 $\frac{PM}{MC} = \lambda$，问 $\lambda$ 为何值时，$PC \perp$ 平面 $BMD$.

已知椭圆的中心在坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为 $4$.

(1) 求椭圆的方程； (2) 直线 $l$ 过点 $P(0,2)$ 且与椭圆相交于 $A$，$B$ 两点，当 $\triangle AOB$ 面积取得最大值时，求直线 $l$ 的方程.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1} = \frac{1}{2}$，点 $(n, 2a_{n+1} - a_{n})$ 在直线 $y = x$ 上，其中 $n=1$，$2$，$3$，$\dots$.

(1) 令 $b_{n} = a_{n+1} - a_{n} - 1$，求证数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列； (2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项； (3) 设 $S_{n}$，$T_{n}$ 分别为数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和. 是否存在实数 $\lambda$，使得数列 $\left\{\frac{S_{n} + \lambda T_{n}}{n}\right\}$ 为等差数列？若存在，试求出 $\lambda$；若不存在，则说明理由.