如图，抛物线 $C_1:y=-x^2$ 与抛物线 $C_2:y=x^2-2ax$（$a>0$）交于 $O$，$A$ 两点.

(1) 把 $C_1$ 与 $C_2$ 所围成的图形（阴影部分）绕 $x$ 轴旋转一周，求所得几何体的体积 $V$； (2) 若过原点的直线 $l$ 与抛物线 $C_2$ 所围成的图形面积为 $\frac{9}{2}a^{3}$，求直线 $l$ 的方程.

如图，抛物线方程为 $y^{2}=p(x+1)$（$p>0$），直线 $x+y=m$ 与 $x$ 轴的交点在抛物线的准线的右边.

(1) 求证：直线与抛物线总有两个交点； (2) 设直线与抛物线的交点为 $Q$，$R$，$OQ \perp OR$，求 $p$ 关于 $m$ 的函数 $f(m)$ 的表达式； (3) 在（2）的条件下，若抛物线焦点 $F$ 到直线 $x + y = m$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，求此直线的方程.

设数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}=1$，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足关系式：$3tS_{n}-(2t+3)S_{n-1}=3t$（$t>0$，$n=2$，$3$，$4$，$\dots$）.

(1) 求证：数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列； (2) 设数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $f(t)$，作数列 $\{b_{n}\}$，使 $b_{1}=1$，$b_{n}=f\left(\frac{1}{b_{n-1}}\right)$（$n=2$，$3$，$4$，$\dots$），求 $b_{n}$； (3) 求和：$b_{1}b_{2}-b_{2}b_{3}+b_{3}b_{4}-\cdots+b_{2n-1}b_{2n}-b_{2n}b_{2n+1}$.