设数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}=1$，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足关系式：$3tS_{n}-(2t+3)S_{n-1}=3t$（$t>0$，$n=2$，$3$，$4$，$\dots$）.

(1) 求证：数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列； (2) 设数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $f(t)$，作数列 $\{b_{n}\}$，使 $b_{1}=1$，$b_{n}=f\left(\frac{1}{b_{n-1}}\right)$（$n=2$，$3$，$4$，$\dots$），求 $b_{n}$； (3) 求和：$b_{1}b_{2}-b_{2}b_{3}+b_{3}b_{4}-\cdots+b_{2n-1}b_{2n}-b_{2n}b_{2n+1}$.