在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 到两点 $(0, -\sqrt{3})$，$(0, \sqrt{3})$ 的距离之和为 $4$，设点 $P$ 的轨迹为 $C$.

(1) 写出 $C$ 的方程； (2) 设直线 $y = kx + 1$ 与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，$k$ 为何值时 $\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}$？此时 $\lvert AB\rvert$ 的值是多少？