设函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 - 3a^2x + 1$（$a$，$b \in \mathbf{R}$）在 $x = x_1$，$x = x_2$ 处取得极值，且 $\lvert x_1 - x_2\rvert = 2$.

(1) 若 $a = 1$，求 $b$ 的值，并求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若 $a > 0$，求 $b$ 的取值范围.