在直角坐标系中，设矩形 $OPQR$ 的顶点按逆时针顺序依次为 $O(0,0)$，$P(1,t)$，$Q(1 - 2t, 2 + t)$，$R(-2t,2)$，其中 $t \in (0,+\infty)$.

(1) 求矩形 $OPQR$ 在第一象限部分的面积 $S(t)$； (2) 确定函数 $S(t)$ 的单调区间，并加以证明.

已知数列 $\{a_n\}$ 满足条件：$a_1 = 1$，$a_2 = r$（$r > 0$），且 $\{a_n a_{n + 1}\}$ 是公比为 $q$（$q > 0$）的等比数列，设 $b_n = a_{2n - 1} + a_{2n}$（$n = 1$，$2$，$\dots$）.

(1) 求出使不等式 $a_na_{n + 1} + a_{n + 1}a_{n + 2} > a_{n + 2}a_{n + 3}$（$n \in \mathbf{N}$）成立的 $q$ 的取值范围； (2) 求 $b_n$ 和 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{S_n}$，其中 $S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n$； (3) 设 $r = 2^{19.2} - 1$，$q = \frac{1}{2}$，求数列 $\left\{\frac{\log_2 b_{n + 1}}{\log_2 b_n}\right\}$ 的最大项和最小项的值.