如图，以椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的中心 $O$ 为圆心，分别以 $a$ 和 $b$ 为半径作大圆和小圆. 过椭圆右焦点 $F(c,0)$（$c>b$）作垂直于 $x$ 轴的直线交大圆于第一象限内的点 $A$. 连结 $OA$ 交小圆于点 $B$. 设直线 $BF$ 是小圆的切线.

(1) 证明 $c^2=ab$，并求直线 $BF$ 与 $y$ 轴的交点 $M$ 的坐标； (2) 设直线 $BF$ 交椭圆于 $P$，$Q$ 两点，证明：$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}b^2$.