已知 $F_{1}$，$F_{2}$ 分别是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点，$F_{1}$，$F_{2}$ 关于直线 $x + y - 2 = 0$ 的对称点是圆 $C$ 的一条直径的两个端点.

(1) 求圆 $C$ 的方程； (2) 设过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 被椭圆 $E$ 和圆 $C$ 所截得的弦长分别为 $a$，$b$. 当 $ab$ 最大时，求直线 $l$ 的方程.