双曲线的中心为原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，两条渐近线分别为 $l_{1}$，$l_{2}$，经过右焦点 $F$ 垂直于 $l_{1}$ 的直线分别交 $l_{1}$，$l_{2}$ 于 $A$，$B$ 两点. 已知 $\left|\overrightarrow{OA}\right|$，$\left|\overrightarrow{AB}\right|$，$\left|\overrightarrow{OB}\right|$ 成等差数列，且 $\overrightarrow{BF}$ 与 $\overrightarrow{FA}$ 同向.

(1) 求双曲线的离心率； (2) 设 $AB$ 被双曲线所截得的线段的长为 $4$，求双曲线的方程.