在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P(a,b)$（$a>b>0$）为动点，$F_{1}$，$F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点. 已知 $\triangle F_1PF_2$ 为等腰三角形.

(1) 求椭圆的离心率 $e$； (2) 设直线 $PF_{2}$ 与椭圆相交于 $A$，$B$ 两点，$M$ 是直线 $PF_{2}$ 上的点，满足 $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=-2$，求点 $M$ 的轨迹方程.

\begin{solution} 设椭圆焦距的一半为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$，$e=\frac ca$，$F_1=(-c,0)$，$F_2=(c,0)$. 由于 $P=(a,b)$，且 $b^2=a^2-c^2$，有 从而 $PF_1>PF_2$. 又 $F_1F_2=2c$.

\begin{enumerate} \item 三角形等腰时，若 $PF_1=F_1F_2$，则 其根为 $e=1$ 或 $e=-\frac{1}{2}$，均不满足 $0<e<1$. 因而只能有 $PF_2=F_1F_2$，即 由 $0<e<1$，得 $e=\frac{1}{2}$. 所以 $a=2c$，$b=\sqrt3c$.

\item 此时椭圆方程为 且直线 $PF_2$ 经过 $F_2=(c,0)$ 和 $P=(2c,\sqrt3c)$，故 将直线上的点参数化为 代入椭圆方程，交点参数 $t_1$，$t_2$ 满足 因此 $t_1+t_2=-\frac{2c}{5}$，$t_1t_2=-\frac{3c^2}{5}$. 设 $M=X(m)$. 直线方向向量为 $(1,\sqrt3)$，其模的平方为 $4$，所以 整理得 又 $m=\frac{y}{\sqrt3}$，且 $c=x-\frac{y}{\sqrt3}$. 代入并化简，得到 还需确定范围. 将上式与 $c=x-\frac{y}{\sqrt3}$ 联立，可得 由于 $c>0$，必有 $x>0$. 所以点 $M$ 的轨迹方程为 $18x^2-16\sqrt3xy-15=0$，$x>0$. \end{enumerate} \end{solution}