对实数 $a$ 与 $b$，定义运算“$\otimes$”： 设函数 $f(x) = (x^2 - 2) \otimes (x - x^2)$，$x \in \mathbf{R}$. 若函数 $y = f(x) - c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，则实数 $c$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 令 $p=x^2-2$，$q=x-x^2$. 则 因此当 时，$f(x)=x^2-2$；在其余区间，$f(x)=x-x^2$.

分别考察三段的值域. 当 $x<-1$ 时，$f(x)=x-x^2$，且 $f'(x)=1-2x>0$，值域为 $(-\infty,-2)$. 当 $-1\leqslant x\leqslant\frac32$ 时，$f(x)=x^2-2$，在 $x=0$ 处取得最小值 $-2$，并且 $f(-1)=-1$，$f\left(\frac32\right)=\frac14$， 所以这一段的取值在 $[-2,\frac{1}{4}]$，其中 $c\in(-2,-1)$ 时有两个原像，$c=-2$ 时有一个原像，$c\in[-1,\frac{1}{4}]$ 时有一个或两个原像需结合其他区间判断. 当 $x>\frac32$ 时，$f(x)=x-x^2$，且 $f'(x)=1-2x<0$，值域为 $(-\infty,-\frac{3}{4})$，每个值至多有一个原像.

具体计数如下：若 $c<-2$，左右两个外侧区间各有一个原像；若 $c=-2$，中间区间的 $x=0$ 和右侧区间的 $x=2$ 共两个原像；若 $-2<c<-1$，中间区间有两个原像，右侧区间还有一个原像，共三个；若 $c=-1$，中间区间的 $x=-1$，$1$ 与右侧区间的一个原像共三个；若 $-1<c<-\frac{3}{4}$，中间区间和右侧区间各有一个原像；若 $c\geqslant-\frac{3}{4}$ 且 $c\leqslant\frac{1}{4}$，只有中间区间的一个原像；其他 $c$ 没有两个原像. 所以恰有两个公共点的条件为 因此选 B. \end{solution}