如图，在三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$H$ 是正方形 $AA_{1}B_{1}B$ 的中心，$AA_{1} = 2\sqrt{2}$，$C_{1}H \perp$ 平面 $AA_{1}B_{1}B$，且 $C_{1}H = \sqrt{5}$.

(1) 求异面直线 $AC$ 与 $A_{1}B_{1}$ 所成角的余弦值； (2) 求二面角 $A - A_{1}C_{1} - B_{1}$ 的正弦值； (3) 设 $N$ 为棱 $B_{1}C_{1}$ 的中点，点 $M$ 在平面 $AA_{1}B_{1}B$ 内，且 $MN \perp$ 平面 $A_{1}B_{1}C_{1}$，求线段 $BM$ 的长.

\begin{solution} 取空间直角坐标系，使 $A=(0,0,0)$，$A_1=(2\sqrt2,0,0)$，$B=(0,2\sqrt2,0)$，$B_1=(2\sqrt2,2\sqrt2,0)$. 于是 $H=(\sqrt2,\sqrt2,0)$. 由于 $C_1H$ 垂直于正方形所在平面且 $C_1H=\sqrt5$，可取 $C_1=(\sqrt2,\sqrt2,\sqrt5)$，$C=(-\sqrt2,\sqrt2,\sqrt5)$.

\begin{enumerate} \item $\overrightarrow{AC}=(-\sqrt2,\sqrt2,\sqrt5)$，$\overrightarrow{A_1B_1}=(0,2\sqrt2,0)$. 所以 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{A_1B_1}=4$，$|\overrightarrow{AC}|=3$，$|\overrightarrow{A_1B_1}|=2\sqrt2$. 因此 \item 平面 $AA_1C_1$ 和平面 $A_1B_1C_1$ 的法向量可分别取 $\mathbf n_1=(0,2\sqrt{10},-4)$，$\mathbf n_2=(2\sqrt{10},0,4)$. 有 $|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|=16$，$|\mathbf n_1|^2=|\mathbf n_2|^2=56$. 若二面角为 $\varphi$，则 从而

\item 点 $N$ 为 $B_1C_1$ 的中点，故 平面 $A_1B_1C_1$ 的一个法向量为 设 $M=(x,y,0)$. 由 $MN\perp$ 平面 $A_1B_1C_1$，存在实数 $\lambda$ 使 比较 $z$ 坐标得 $\lambda=-\frac{\sqrt5}{4}$，于是 $x=\frac{\sqrt2}{4}$，$y=\frac{3\sqrt2}{2}$. 因此 故 $BM=\frac{\sqrt{10}}4$. \end{enumerate} \end{solution}