如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA \perp$ 平面 $ABCD$，$AB = BC = 2$，$AD = CD = \sqrt{7}$，$PA = \sqrt{3}$，$\angle ABC = 120^\circ$，$G$ 为线段 $PC$ 上的点.

(1) 证明：$BD \perp$ 平面 $APC$； (2) 若 $G$ 为 $PC$ 的中点，求 $DG$ 与平面 $APC$ 所成的角的正切值； (3) 若 $G$ 满足 $PC \perp$ 平面 $BGD$，求 $\frac{PG}{GC}$ 的值.