当 $0 < x \leqslant \frac{1}{2}$ 时，$4^x < \log_a x$，则 $a$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 因为 $0<x\leqslant\frac12<1$ 且 $4^x>0$，要使 $\log_a x>4^x>0$，必须有 $0<a<1$. 此时 $\ln a<0$，原不等式等价于 $\ln x<4^x\ln a$，即 $\ln a>\frac{\ln x}{4^x}$. 令 $g(x)=\frac{\ln x}{4^x}$，则 $g'(x)=4^{-x}\left(\frac1x-\ln4\ln x\right)>0$ 在 $0<x\leqslant\frac12$ 上成立，所以 $g(x)\leqslant g(\frac12)=-\frac12\ln2=-\ln\sqrt2$. 因此需且只需 $\ln a>-\ln\sqrt2$，即 $\frac{\sqrt2}{2}<a<1$，应选 B. \end{solution}