设函数 $f(x) = \frac{(x + 1)^2 + \sin x}{x^2 + 1}$ 的最大值为 $M$，最小值为 $m$，则 $M + m =$______.

\begin{answer} 2 \end{answer}

\begin{solution} 将函数化为 $f(x)=1+\dfrac{2x+\sin x}{x^2+1}$. 令 $g(x)=\dfrac{2x+\sin x}{x^2+1}$，则 $g(-x)=-g(x)$，所以 $g$ 的最大值与最小值互为相反数. 函数 $g$ 连续且当 $|x|\to+\infty$ 时趋于 $0$，故其最大值、最小值存在. 若分别记为 $G$、$-G$，则 $M=1+G$，$m=1-G$，从而 $M+m=2$. \end{solution}