直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{2}$ 与圆心为 $D$ 的圆 （$\theta \in [0,2\pi)$） 交于 $A$，$B$ 两点，则直线 $AD$ 与 $BD$ 的倾斜角之和为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 圆心为 $D(\sqrt{3},1)$，半径为 $r=\sqrt{3}$. 设直线与圆的垂足为 $H$，将直线写成 $\frac{\sqrt{3}}{3}x-y+\sqrt{2}=0$. 于是圆心到直线的距离为 弦的一半长为 直线的方向角为 $\frac\pi6$，而 $\overrightarrow{DH}$ 垂直于该直线且指向直线，方向角为 $\frac{2\pi}{3}$. 在直角三角形 $DHA$ 和 $DHB$ 中，$DH=AH=BH$，故两条半径与正 $x$ 轴的夹角分别为 $\frac{2\pi}{3}-\frac\pi4=\frac{5\pi}{12}$ 和 $\frac{2\pi}{3}+\frac\pi4=\frac{11\pi}{12}$. 因而倾斜角之和为 $\frac{4\pi}{3}$，选 C. \end{solution}

到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设过第一条直线且平行于第二条直线的平面为 $\pi$，把第二条直线在 $\pi$ 上的正投影记为 $l_2'$. 由于两条异面直线互相垂直，$l_2'$ 与第一条直线在平面 $\pi$ 内相交且互相垂直. 设两条直线之间的距离为 $h$，则 $h>0$.

在平面 $\pi$ 内建立直角坐标系，使第一条直线为 $x$ 轴，$l_2'$ 为 $y$ 轴. 对平面 $\pi$ 内任一点 $P(x,y)$，有 $d(P,l_1)=|y|$，$d(P,l_2)^2=d(P,l_2')^2+h^2=x^2+h^2$. 题设条件给出 这是以坐标轴方向为渐近线的双曲线，故选 D. \end{solution}

已知以原点 $O$ 为中心，$F(\sqrt{5}, 0)$ 为右焦点的双曲线 $C$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(1) 求双曲线 $C$ 的标准方程及其渐近线方程； (2) 如图，已知过点 $M(x_{1}, y_{1})$ 的直线 $l_{1}: x_{1}x + 4y_{1}y = 4$ 与过点 $N(x_{2}, y_{2})$（其中 $x_{2} \neq x_{1}$）的直线 $l_{2}: x_{2}x + 4y_{2}y = 4$ 的交点 $E$ 在双曲线 $C$ 上，直线 $MN$ 与两条渐近线分别交于 $G$，$H$ 两点，求 $\triangle OGH$ 的面积.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a>0$，$b>0$，焦半距为 $c$. 由题意，$c=\sqrt{5}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以 $a=2$. 又 $b^2=c^2-a^2=5-4=1$，故双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$，渐近线方程为 $y=\pm\frac{x}{2}$. \item 设 $E(x_E,y_E)$ 为两直线的交点. 因为 $E\in l_1\cap l_2$，所以 $x_1x_E+4y_1y_E=4$，$x_2x_E+4y_2y_E=4$. 这说明 $M(x_1,y_1)$、$N(x_2,y_2)$ 均在直线 $x_E x+4y_E y=4$ 上，故直线 $MN$ 的方程为 $x_E x+4y_E y=4$. 分别联立渐近线 $y=\frac{x}{2}$ 和 $y=-\frac{x}{2}$，得 $G\left(\frac{4}{x_E+2y_E},\frac{2}{x_E+2y_E}\right)$，$H\left(\frac{4}{x_E-2y_E},-\frac{2}{x_E-2y_E}\right)$. 于是 $S_{\triangle OGH}=\frac{1}{2}\left|x_Gy_H-y_Gx_H\right|=\frac{8}{|x_E^2-4y_E^2|}$. 又因为 $E$ 在双曲线上，满足 $\frac{x_E^2}{4}-y_E^2=1$，即 $x_E^2-4y_E^2=4$，所以 $S_{\triangle OGH}=2$. \end{enumerate} \end{solution}