已知函数 $f(x)$ 满足： $f(1) = \frac{1}{4}$，$4f(x)f(y) = f(x + y) + f(x - y)$ （$x$，$y \in \mathbf{R}$），则 $f(2010) =$______.

\begin{answer} $\frac{1}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 令 $y=0$，原函数方程变为 取 $x=1$，由 $f(1)=\frac14\ne0$ 得 $f(0)=\frac12$. 再令 $x=0$，可得 从而 $f(-y)=f(y)$.

令 $y=1$，利用 $4f(1)=1$，得到 对整数依次取值，结合 $f(0)=\frac12$、$f(1)=\frac14$，有 $f(3)=f(2)-f(1)=-\frac12$，$f(4)=f(3)-f(2)=-\frac14$ $f(5)=f(4)-f(3)=\frac14$，$f(6)=f(5)-f(4)=\frac12$. 由递推式可得 $f(7)=f(6)-f(5)=\frac14=f(1)$，于是令 $g(n)=f(n+6)-f(n)$，有 $g(0)=0$，$g(1)=0$. 对任意非负整数 $n$，递推式分别作用于 $n+1$ 和 $n+7$ 给出 $g(n+2)=g(n+1)-g(n)$，因此由归纳法知 $g(n)=0$，即 $f(n+6)=f(n)$. 而 $2010=6\cdot335$，所以 \end{solution}