已知函数 $f(x)=\left|2^{x-2}-2\right|$（$x\in\mathbf{R}$）.

(1) 解不等式 $f(x)<2$； (2) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=f(n)$（$n\in\mathbf{N}^{*}$）， $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，对任意的 $n\geq4$，不等式 $S_{n}+\frac{1}{2}\geq ka_{n}$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 $t=2^{x-2}>0$. 原不等式等价于 $|t-2|<2$，即 $-2<t-2<2$，所以 $0<t<4$. 因为 $t>0$ 恒成立，故只需 $2^{x-2}<4=2^2$，即 $x<4$.

\item 先计算数列的前几项：$a_1=\left|2^{-1}-2\right|=\frac32$、$a_2=1$、$a_3=0$. 当 $n\geq4$ 时，$a_n=2^{n-2}-2$，故 因此 $a_n=2^{n-2}-2>0$，原不等式对所有 $n\geq4$ 成立，当且仅当 要确定右侧的最小值，只需证明其不小于 $\frac{25}{14}$. 由于分母为正，这等价于 即 $3\cdot2^{n-2}-28n+120\geq0$. 当 $n=4$，$5$，$6$ 时，左侧分别为 $20$，$4$，$0$. 对于 $n\geq6$，相邻两项之差为 所以该式对所有 $n\geq6$ 均成立. 当 $n=6$ 时等号成立，故右侧最小值为 $\frac{25}{14}$. 因而 $k\leq\frac{25}{14}$，实数 $k$ 的取值范围为 $\left(-\infty,\frac{25}{14}\right]$. \end{enumerate} \end{solution}