在直角坐标平面中，已知点 $P_{1}(1,2)$，$P_{2}(2,2^{2})$，$P_{3}(3,2^{3})$，$\cdots$，$P_{n}(n,2^{n})$，其中 $n$ 是正整数，对平面上任一点 $A_{0}$，记 $A_{1}$ 为 $A_{0}$ 关于点 $P_{1}$ 的对称点，$A_{2}$ 为 $A_{1}$ 关于点 $P_{2}$ 的对称点，$\cdots$，$A_{n}$ 为 $A_{n-1}$ 关于点 $P_{n}$ 的对称点.

(1) 求向量 $\overrightarrow{A_{0}A_{2}}$ 的坐标； (2) 当点 $A_{0}$ 在曲线 $C$ 上移动时，点 $A_{2}$ 的轨迹是函数 $y = f(x)$ 的图象，其中 $f(x)$ 是以 3 为周期的周期函数，且当 $x \in (0,3]$ 时，$f(x) = \lg x$. 求以曲线 $C$ 为图象的函数在 $(1,4]$ 上的解析式； (3) 对任意偶数 $n$，用 $n$ 表示向量 $\overrightarrow{A_{0}A_{n}}$ 的坐标.