设直线 $l: 2x + y + 2 = 0$ 关于原点对称的直线为 $l'$，若 $l'$ 与椭圆 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ 的交点为 $A$，$B$，点 $P$ 为椭圆上的动点，则使 $\triangle PAB$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ 的点 $P$ 的个数为（$\quad$）

已知动圆过定点 $\left(\frac{p}{2}, 0\right)$，且与直线 $x = -\frac{p}{2}$ 相切，其中 $p > 0$.

(1) 求动圆圆心 $C$ 的轨迹的方程； (2) 设 $A$，$B$ 是轨迹 $C$ 上异于原点 $O$ 的两个不同点，直线 $OA$ 和 $OB$ 的倾斜角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$，当 $\alpha$，$\beta$ 变化且 $\alpha + \beta = \frac\pi4$，证明直线 $AB$ 恒过定点，并求出该定点的坐标.