设 $f(x)$ 是定义在区间 $(-\infty, +\infty)$ 上以 $2$ 为周期的函数，对 $k \in \mathbf{Z}$，用 $I_k$ 表示区间 $(2k - 1, 2k + 1]$，已知当 $x \in I_0$ 时，$f(x) = x^2$.

(1) 求 $f(x)$ 在 $I_k$ 上的解析表达式； (2) 对自然数 $k$，求集合 $M_k = \left\{ a \mid \text{使方程 } f(x) = ax \text{ 在 } I_k \text{ 上有两个不等的实根} \right\}$.