如图，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）经过点 $P\left(1, \frac{3}{2}\right)$，离心率 $e = \frac{1}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $x = 4$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) $AB$ 是经过右焦点 $F$ 的任一弦（不经过点 $P$），设直线 $AB$ 与直线 $l$ 相交于点 $M$，记 $PA$，$PB$，$PM$ 的斜率分别为 $k_{1}$，$k_{2}$，$k_{3}$. 问：是否存在常数 $\lambda$，使得 $k_{1} + k_{2} = \lambda k_{3}$？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.