设 $\{a_{n}\}$ 是由正数组成的等比数列，$S_{n}$ 是其前 $n$ 项和.

(1) 证明：$\frac{\lg S_n + \lg S_{n + 2}}{2} < \lg S_{n + 1}$. (2) 是否存在常数 $c > 0$，使得 $\frac{\lg (S_n - c) + \lg (S_{n+2} - c)}{2} = \lg (S_{n+1} - c)$ 成立？并证明你的结论.