已知双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$），离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$，顶点到渐近线的距离为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 如图，$P$ 是双曲线 $C$ 上一点，$A$，$B$ 两点在双曲线 $C$ 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限. 若 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$，$\lambda \in \left[\frac{1}{3}, 2\right]$，求 $\triangle AOB$ 面积的取值范围.