已知椭圆 $C$ 和直线 $l$ 的直角坐标方程分别为 $C:x^{2}+2y^{2}-8=0$，$l:y=x-2$.

(1) 证明椭圆 $C$ 的一个焦点和短轴的一个端点落在直线 $l$ 上. (2) 求直线 $l$ 被椭圆 $C$ 所截得线段的长度. (3) 如果动点 $p$ 至坐标原点的距离与点 $p$ 至直线 $l$ 的距离相等，那么动点 $p$ 的轨迹是什么曲线？请推导出它的方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 【法一】将椭圆 $C$ 的方程化为标准形式 $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$. 得知椭圆的中心为坐标原点，短轴在 $y$ 轴上，长半轴长 $a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，短半轴长 $b=\sqrt{4}=2$，所以半焦距 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{8-4}=2$，从而两个焦点的坐标分别为 $(2,0)$ 和 $(-2,0)$，又短轴两个端点的坐标分别为 $(0,2)$ 和 $(0,-2)$. 由直线 $l$ 的方程 $y=x-2$ 可知，当 $x=2$ 时 $y=0$，当 $x=0$ 时 $y=-2$，即椭圆 $C$ 的焦点 $(2,0)$ 与短轴的端点 $(0,-2)$ 都在直线 $l$ 上.

【法二】同【法一】知椭圆 $C$ 的焦点为 $(2,0)$，$(-2,0)$，短轴的端点为 $(0,2)$，$(0,-2)$. 由点 $(2,0)$ 与 $(0,-2)$ 所确定的直线的方程为 $\frac{y-0}{-2-0}=\frac{x-2}{0-2}$， 即 $y=x-2$. 这就是直线 $l$ 的方程，所以椭圆 $C$ 的焦点 $(2,0)$ 与短轴的端点 $(0,-2)$ 都在直线 $l$ 上.

\item 解方程组 消去 $y$，得 $x^{2}+2(x-2)^{2}-8=0$， $3x^{2}-8x=0$， 解得 $x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{8}{3}$. 从而 $y_{1}=-2$，$y_{2}=\frac{2}{3}$. 即直线 $l$ 被椭圆 $C$ 所截得的线段的端点坐标为 $(0,-2)$ 与 $\left(\frac{8}{3},\frac{2}{3}\right)$，该线段长为 $\sqrt{\left(\frac{8}{3}-0\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}+2\right)^{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$.

\item 由于动点 $p$ 到坐标原点和到直线 $l$ 的距离相等，可知动点 $p$ 的轨迹是一条抛物线. 设动点 $p$ 的坐标为 $(x,y)$，依题意有 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{|y-x+2|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}$. 等式两边均非负，平方不会引入或丢失轨迹上的点. 两边平方，得 $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{2}(y^{2}+x^{2}+4-2xy+4y-4x)$， 即 $x^{2}+y^{2}+2xy+4x-4y-4=0$. 令 $u=x+y$、$v=x-y$，方程化为 $u^{2}+4v-4=0$，即 $u^{2}=-4(v-1)$，所以轨迹确为抛物线，所求方程为 $x^{2}+y^{2}+2xy+4x-4y-4=0$. \end{enumerate} \end{solution}