设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F$，上顶点为 $B$. 已知椭圆的短轴长为 $4$，离心率为 $\dfrac{\sqrt5}{5}$.

(1) 求椭圆的方程； (2) 设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线 $PB$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上. 若 $|ON|=|OF|$（$O$ 为原点），且 $OP\perp MN$，求直线 $PB$ 的斜率.