某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 $3\text{ 元}$，并且每件产品需向总公司交 $a\text{ 元}$（$3 \leqslant a \leqslant 5$）的管理费，预计当每件产品的售价为 $x\text{ 元}$（$9 \leqslant x \leqslant 11$）时，一年的销售量为 $(12 - x)^{2}\text{ 万件}$.

(1) 求分公司一年的利润 $L$（万元）与每件产品的售价 $x$ 的函数关系式； (2) 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 $L$ 最大？并求出 $L$ 的最大值 $Q(a)$.

如图，已知点 $F(1,0)$，直线 $l$：$x = -1$，$P$ 为平面上的动点. 过 $P$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为点 $Q$，且 $\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{QF} = \overrightarrow{FP} \cdot \overrightarrow{FQ}$.

(1) 求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程； (2) 过点 $F$ 的直线交轨迹 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，交直线 $l$ 于点 $M$，已知 $\overrightarrow{MA} = \lambda_1 \overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB} = \lambda_2 \overrightarrow{BF}$，求 $\lambda_1 + \lambda_2$ 的值.