已知长方形的四个顶点 $A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,1)$ 和 $D(0,1)$，一质点从 $AB$ 的中点 $P_0$ 沿与 $AB$ 的夹角 $\theta$ 的方向射到 $BC$ 上的点 $P_1$ 后，依次反射到 $CD$，$DA$ 和 $AB$ 上的点 $P_2$，$P_3$ 和 $P_4$（入射角等于反射角）. 若 $P_4$ 与 $P_0$ 重合，则 $\tan\theta=$（ ）

\begin{solution} 设 $m=\tan\theta$. 质点从 $P_0=(1,0)$ 射入矩形内部并依次碰到 $BC$，$CD$，$DA$，$AB$，故 $m>0$. 从 $P_0$ 到 $BC$（即 $x=2$）的第一段直线斜率为 $m$，所以 要使 $P_1$ 位于线段 $BC$ 上，必须有 $0<m<1$.

在 $BC$ 处反射后，水平分速度反向，运动方向变为左上方，斜率为 $-m$. 令这条线与 $CD$（即 $y=1$）相交，则 从而 由 $P_2\in CD$ 得 $\frac13\leqslant m\leqslant1$. 在 $CD$ 处反射后，运动方向变为左下方，斜率为 $m$. 令这条线与 $DA$（即 $x=0$）相交，则 所以 由 $P_3\in DA$ 得 $\frac13\leqslant m\leqslant\frac23$. 在 $DA$ 处反射后，运动方向变为右下方，斜率为 $-m$. 令这条线与 $AB$（即 $y=0$）相交，得到 由 $P_4\in AB$ 得 $0\leqslant\frac2m-3\leqslant2$，即 $\frac25\leqslant m\leqslant\frac23$.

因为 $P_4$ 与 $P_0=(1,0)$ 重合，所以 解得 $m=\frac12$. 此时 $P_1=\left(2,\frac12\right)$，$P_2=(1,1)$，$P_3=\left(0,\frac12\right)$，$P_4=(1,0)$，依次都落在对应线段上，故条件成立. 因此 $\tan\theta=\frac12$，故选 C. \end{solution}

已知常数 $a>0$，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=4$，$BC=4a$，$O$ 为 $AB$ 的中点，点 $E$，$F$，$G$ 分别在 $BC$，$CD$，$DA$ 上移动，且 $\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CD}=\frac{DG}{DA}$，$P$ 为 $GE$ 与 $OF$ 的交点（如图），问是否存在两个定点，使 $P$ 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

\begin{solution} 建立直角坐标系，使 $O$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，正方向由 $O$ 指向 $B$. 则 $A=(-2,0)$，$B=(2,0)$，$C=(2,4a)$，$D=(-2,4a)$. 设 $\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CD}=\frac{DG}{DA}=t$，且 $0\leqslant t\leqslant1$. 于是 $E=(2,4at)$，$F=(2-4t,4a)$，$G=(-2,4a-4at)$. 直线 $OF$ 的方程为 直线 $GE$ 的方程为 设交点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$. 由第一式得 $(2t-1)y=-2ax$. 将第二式乘以 $y$，消去参数 $t$，得 所以点 $P$ 的轨迹满足 即 为确定实际轨迹的范围，令 $q=2t-1$. 联立两条直线方程可得 $x=-\frac{2q}{q^2+2}$，$y=\frac{4a}{q^2+2}$，且 $-1\leqslant q\leqslant1$， 故 $P$ 随 $t$ 在上述椭圆的一段弧上运动.

该椭圆的两个半轴长分别为 $\frac1{\sqrt2}$ 和 $a$，分情况讨论.

当 $0<a<\frac{\sqrt2}{2}$ 时，长半轴为 $\frac1{\sqrt2}$，焦距的一半为 取两个定点 $F_1=(-c,a)$，$F_2=(c,a)$， 则 $F_1$，$F_2$ 是该椭圆的两个焦点，且

当 $a=\frac{\sqrt2}{2}$ 时，轨迹方程为 表示一个圆. 由于 $P$ 在该圆的一段非退化弧上运动，若两个定点不同，则到这两个定点的距离和为定值的轨迹是以这两个定点为焦点的非圆椭圆，不可能包含这段圆弧；因此按通常将“两定点”理解为不同点的约定，不存在符合题意的两个定点.

当 $a>\frac{\sqrt2}{2}$ 时，长半轴为 $a$，焦距的一半为 取两个定点 $F_1=(0,a-c)$，$F_2=(0,a+c)$， 则 $F_1$，$F_2$ 是该椭圆的两个焦点，且 \end{solution}