一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt2$，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

\begin{solution} 这是棱长为 $s=\sqrt2$ 的正四面体. 设球心为 $O$，取面 $ABC$ 的重心为 $G$. 正三角形 $ABC$ 的中线长为 $\frac{\sqrt3}{2}s$，所以 正四面体的高为 $h=s\sqrt{\frac23}$. 由于球心到 $A$，$B$，$C$ 的距离相等，球心在顶点 $D$ 与面 $ABC$ 的重心 $G$ 所在的垂线上. 设 $OG=u$，其中 $O$ 位于 $D$ 与 $G$ 之间，则 $OD=h-u$. 由 $OA=OD$ 以及 $OA^2=OG^2+AG^2$，得 代入 $AG^2=\frac{s^2}{3}$ 和 $h^2=\frac{2s^2}{3}$，可得 $2hu=h^2-AG^2=\frac{s^2}{3}$，所以 在直角三角形 $OGA$ 中， 因此球的表面积为 $4\pi R^2=3\pi$，故选 A. \end{solution}

在平面几何里，有勾股定理：“设 $\triangle ABC$ 的两边 $AB$，$AC$ 互相垂直，则 $AB^2+AC^2=BC^2$.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 $A-BCD$ 的三个侧面 $ABC$，$ACD$，$ADB$ 两两互相垂直，则______.”

\begin{solution} 以 $AC$ 为 $x$ 轴，取面 $ABC$ 为 $xy$ 平面、面 $ACD$ 为 $xz$ 平面，并以 $A$ 为原点. 于是可设 $C=(c,0,0)$，$B=(u,v,0)$，$D=(w,0,s)$，其中 $v\ne0$，$s\ne0$. 取面 $ADB$ 的两个方向向量 $\overrightarrow{AB}=(u,v,0)$ 和 $\overrightarrow{AD}=(w,0,s)$，则其一个法向量为

面 $ABC$ 与面 $ACD$ 的法向量可分别取为 $(0,0,1)$ 和 $(0,1,0)$. 由于面 $ADB$ 分别垂直于面 $ABC$ 和面 $ACD$，上述法向量分别与这两个法向量垂直，故 $-vw=0$，$-us=0$. 结合 $v\ne0$，$s\ne0$，得 $w=0$，$u=0$. 因而 $AB$，$AC$，$AD$ 分别平行于 $y$ 轴、$x$ 轴、$z$ 轴，三条棱两两垂直.

设 $AB=p$，$AC=q$，$AD=r$，于是 $AB\perp AC$，$AC\perp AD$，$AD\perp AB$. 于是三个侧面面积分别为 $S_{\triangle ABC}=\frac12pq$，$S_{\triangle ACD}=\frac12qr$，$S_{\triangle ADB}=\frac12rp$. 取 $A$ 为原点，令 $AB$，$AC$，$AD$ 分别沿三个坐标轴，则 $B=(p,0,0)$，$C=(0,q,0)$，$D=(0,0,r)$. 因此 $\overrightarrow{BC}=(-p,q,0)$，$\overrightarrow{BD}=(-p,0,r)$， 从而 所以 故应填 $S_{\triangle ABC}^{2}+S_{\triangle ACD}^{2}+S_{\triangle ADB}^{2}=S_{\triangle BCD}^{2}$. \end{solution}