在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 $O$（如图）的东偏南 $\theta$（$\cos\theta=\frac{\sqrt2}{10}$）方向 $300 \mathrm{~km}$ 的海面 $P$ 处，并以 $20 \mathrm{~km}/\mathrm{h}$ 的速度向西偏北 $45^{\circ}$ 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域. 当前半径为 $60 \mathrm{~km}$，并以 $10 \mathrm{~km}/\mathrm{h}$ 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

\begin{solution} 以城市 $O$ 为原点，正东方向为 $x$ 轴正方向，正北方向为 $y$ 轴正方向，时间 $t$ 的单位取小时. 台风中心的初始坐标为 $P_0=\left(300\cos\theta,-300\sin\theta\right)$. 因为 $\theta$ 为东偏南角，且 $\cos\theta=\frac{\sqrt2}{10}$，所以 从而 $P_0=\left(30\sqrt2,-210\sqrt2\right)$. 台风向西偏北 $45^{\circ}$ 方向以 $20 \mathrm{~km}/\mathrm{h}$ 移动，所以 $t$ 小时后的中心坐标为 $P(t)=\left(30\sqrt2-10\sqrt2t,-210\sqrt2+10\sqrt2t\right)$. 此时台风半径为 $r(t)=60+10t$（$\mathrm{km}$）. 城市开始受到侵袭的临界条件是 $OP(t)=r(t)$. 计算得 因此临界时刻满足 即 解得 $t=12$ 或 $t=24$. 由于 $t=0$ 时 $OP(0)=300>60=r(0)$，第一次相切发生在 $t=12$ 时，所以 $12$ 小时后该城市开始受到台风的侵袭. \end{solution}